RSS

Pemodelan Sistem Ordinary dan Partial Difrential

14 Mar
  1. Ordinary Differential Equation (ODE)

ODE adalah sebuah persamaan yang mempunyai satu atau beberapa fungsi derivative dari fungsi yang tidak diketahui dengan mengandung satu peubah. Misalnya :

ay”+by’+cy=d

Menghitung persamaan Laplace tegangan output dari rangkaian

S : Rangkaian LRC

Q : Persamaan Laplace Tegangan output pada Capasitor

M:    

Penjelasan:


Gambar 1. Rangkaian LRC Sistem

Dalam mendisain suatu rangkaian listrik harus diperhatikan nilai input dan output sistem tersebut. Pada rangkaian diatas output yang diinginkan adalah tegangan keluaran pada kapasitor Vc(t). Inputnya adalah sumber tegangan V(t).

Berdasarkan loop dari rangkaian tersebut didapatkan persamaan differentialnya adalah :

                            (A.1)

Kemudian mensubstitusikan semua variabel yang ada di atas dari arus ke jumlah muatan dalam hal ini i(t) = dq(t). Persamaannya menjadi :

                            (A.2)

, dimana                                 (A.3)

Persamaan di atas bertujuan untuk mendapatkan nilai Vc(t) yang berfungsi sebagai output.

Substitusikan persamaan (A.3) ke (A.2) menjadi :

                        (A.4)

Persamaan (A.4) dikalikan dengan 1/LC :

                        (A.5)

Persamaan (A.5) ditansfromasi Laplace menjadi :

                        (A.6)

                                (A.7)

                                (A.8)

Persamaan blok diagram fungsi alihnya :

            


 

Gambar 2. Blok Diagram Fungsi Alih Sistem

Berdasarkan persamaan (A.8) didapatkan fungsi Laplace tegangan keluaran kapasitor adalah :

                                (A.9)

  1. Partial Differential Equation (PDE)

PDE merupakan sebuah persamaan yang mempunyai fungsi tak diketahui dari sebuah atau beberapa peubah bebas yang mengandung dua atau lebih peubah. Misalnya peubah waktu (t) dan peubah ruang (x).

Mencari Persamaan Gelombang Membran Dimensi Dua

S : Membran

Q : Persamaan Gelombang Dimensi Dua

M:    

Penjelasan:

Asumsi :

  1. Massa membran pada tiap unit area konstan (membran homogen)
  2. Membran bersifat fleksibel dan tanpa hambatan
  3. Membran direntangkan dan kemudian kembali lagi dalam bidang xy.
  4. Defleksi u(x.y,t) dari membrane selama bergerak dibandingkan dengan ukuran membrane dan sudut kemiringan.

Asumsi ini hanyalah bentuk ideal dari sebuah membran. Asumsi ini tetap dapat direferensikan untuk kondisi nyata melalui beberapa pendekatan.

Sejak terjadinya defleksi pada membran dan semakin kecilnya sudut kemiringan dari membran, maka persamaan membran yang terjadi merupakan fungsi ∆x dan ∆y. Tensi T adalah gaya dalam satuan panjang. Gaya horizontal adalah perkalian gaya terhadap sudut kemiringan cosinus. Besarnya nilai cosinus adalah 1 karena sudut kemiringannya kecil atau mendekati 0. Berikut adalah contoh pergetaran membran.


Gambar 3. Getaran Membran Pada Bidang xy

Gaya vertikal membrane merupakan gaya disisi kanan dan kiri yang merupakan fungsi sinus yang direpresentasikan dengan T ∆y sin β dan -T ∆y sin α.

, dimana α dan β adalah nilai dari sudut kemiringan terhadap garis tengah dan nilai minus (-) menunjukkan gaya pada sisi kiri diarahkan ke bawah. Nilai α dan β adalah mendektai 0, maka didapatkan resultan dari dua gaya vertikal itu adalah :

        (B.1)

, dimana x direpresentasikan sebagai partial derivative dan y1 dan y2 adalah nilai antara y dan y+∆y. Resultan gaya vertikal pada dua sisi adalah :

                            (B.2)

, dimana x1 dan x2 adalah nilai antara x dan x+∆x.

    Hukum newton II menyatakan bahwa jumlah gaya yang diberikan pada oleh persamaan (B.1) dan (B.2) sama dengan massa ρ∆A dari percepatan ∂2u/∂t2, dimana ρ merupakan massa dari membrane tak terdefleksi dalam satuan luas dan ∆A = ∆x ∆y adalah area tak terdefleksi, maka :

    (B.3)

, dimana derivative sebelah kiri dievaluasi di titik , kemudian dibagi dengan ρ∆x∆y. Didapatkan :

            (B.4)

Jika ∆x dan ∆y diasumsikan 0, maka PDE dari model persamaan gelombang dimensi dua dari membrane adalah :

                                (B.5)

                                        (B.6)

PDE di atas disebut sebagai persamaan gelombang dimensi dua. Persamaan (B.5) tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk Laplace dari u, sehingga PDE-nya menjadi :

                                        (B.7)

 
Leave a comment

Posted by on March 14, 2012 in Materi, Pemodelan Sistem

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

 
%d bloggers like this: